Cách giải toán hình học không gian

CÁCH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu biết đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán thì việc học và giải toán hình học không gian sẽ đỡ khó hơn rất nhiều. Cách giải toán hình không gian giúp học sinh có thể giải những đề thi đại học phần hình học không gian một cách nhẹ nhàng.

1.  Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

 Phương pháp:

Cách 1:

 Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.

Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

Cách 2:

Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng // thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và // với 2 đường thẳng này.

2. Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Phương pháp:

Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P). Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:
 – Tìm một mp(Q) chứa a.
 – Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
 –  Gọi: A = a ∩   b  thì: A = a ∩ (P).

3.  Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

 Phương pháp:

Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

4.  Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.

Phương pháp:

Cách 1:

Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

Tìm A = a ∩ b.

Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩   (Q) = c.

Cách 2:

Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

5. Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.

 Phương pháp:

Tìm mp(P) cố định chứa a.

Tìm mp(Q) cố định chứa b.

Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M ∈c.

Giới hạn.

 6. Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.

Phương pháp:

Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

 – Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.

 – Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

7. Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định.

 Phương pháp:

Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P)  ∩ b.

8. Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song.

Cách 1

Ta chứng minh: a , b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, … để chứng minh: a // b.

Cách 2

Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.

Cách 3

Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.

 9. Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b.

 Phương pháp:

Lấy một điểm O tùy ý. Qua O dựng c // a, d // b.
Góc nhọn tạo bởi c và d là góc giữa 2 đường thẳng a, b.

Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại

10. Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P).

Phương pháp:

Cách 1
Ta chứng minh: a // với một đường thẳng b ⊂ (P). Khi không thấy được b ta làm theo các

bước:

-Tìm một mp(Q) chứa a.

Tìm b = (P) ∩ (Q).

Chứng minh: b // a.

Cách 2

Chứng minh: a  ⊂ (Q) // (P).

11. Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước.

Phương pháp:

Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.

12. Chứng minh 2 mặt phẳng song song.

 Phương pháp:

Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

13. Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước.

 Phương pháp:
Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến // nhau.

14.  Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc nhau.

 Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia.

Cách 2: Nếu 2 đường thẳng cắt nhau thì sử dụng các phương pháp đã dùng trong hình học phẳng để chứng minh.

Cách 3: Dùng Vectơ.

15:Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh  a  vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

Cách 2: Chứng minh a là trục của mp(P) (Tức là chứng minh: MA = MB = MC, NA = NB = NC với M, N ∈ a;  A, B, C ∈ (P)).

Cách 3: Chứng minh: a ⊂   (Q) ⊥ (P) và a ⊥ b = (P) ∩ (Q).

Cách 4: Chứng minh a là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng  ⊥ (P).

16. Dựng thiết diện của mp(P) qua một điểm A cho trước và ⊥ đường thẳng a cho trước.

 Phương pháp

Cách 1:  Nếu có 2 đường thẳng: b, c cắt nhau hay chéo nhau cùng ⊥ với a thì: (P) // a (hay chứa a), (P) // b (hay chứa b) ta đưa việc dựng thiết diện về phần //.

Cách 2: Dựng mp(P) như sau: Dựng 2 đường thẳng cắt nhau: b, c cùng ⊥a, b hoặc c qua A, (P) = mp(b, c).

17. Dựng đường thẳng a qua A cho trước và ⊥ mp(P) cho trước.Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Phương pháp:

–  Chọn trong (P) đường thẳng d.

– Tìm mp(Q) qua A và ⊥ d. (Tức là tìm 2 đường thẳng cắt nhau ⊥ d trong đó có 1 đường thẳng qua A)

– Tìm: c = (P)  ∩ (Q).

–  Dựng: AH ⊥ c tại H. AH là đường thẳng qua A và ⊥ (P), AH = d[A, (P)].

Chú ý

 – Nếu: AB // (P) thì d[A, (P)] = d[B, (P)].
 –  Nếu: AB ∩ (P) = I thì: d[A, (P)] / d[B, (Q)] = IA/ IB.

18. Tìm tập hợp hình chiếu M của điểm cố định A trên đường thẳng d thay đổi trong mp(P) cố định và d qua điểm cố định O.

Phương pháp:

1 . Dựng AH⊥(P)  (H ∈  (P)) ta có: HM ⊥ d. (Theo ĐL 3 đường ).

2. Trong mp(P) góc HMO vuông nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P).

19. Tìm tập hợp hình chiếu H của một điểm cố đinh A trên mp(P) di động chứa đường thẳng d cố định

Phương pháp:

– Tìm mp(Q) qua A và ⊥ d.
– Tìm c = (P) ∩ (Q).

– Chiếu ⊥ A lên c, điểm chiếu là H thì H chính là hình chiếu ⊥ của A trên (P).

– Gọi E = d ∩ (Q). Trong mp góc AHE = 90 nên H thuộc đường tròn đường kính AE.

20. Tìm góc giữađường thẳng a và mp(P).

Phương pháp:

–  Tìm O = a ∩   (P).

– Chọn A ∈   a và dựng AH⊥ (P) (H ∈  (P)) (dựng đường thẳng qua điểm A cho trước và ⊥ mp cho trước).
góc AOH = ( a, α ) .

21. Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) – Góc nhị diện.

Phương pháp:
1 . Tìm c = (P) ∩ (Q).
2 . Tìm (R) ⊥   c (Tức là tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng ⊥ c).

3 . Tìm a = (R) ∩   (P), b = (R) ∩ (Q) (đối với góc giữa 2 mặt phẳng ), ((P), (Q)) = (a, b).

Ox = (R) ∩ (P), Oy = (R) ∩ (Q) (Đối với góc nhị diện). ((P), d, (Q)) = (Ox, Oy).

• Chú ý: Nếu có 2 đường thẳng a, b lần lượt ⊥ với (P) và (Q) thì: ((P), (Q)) = (a, b).

22.Mặt phân giác của nhị diện ((P), c, (Q)).

Phương pháp:

Cách 1

– Tìm góc phẳng  xOy của nhị diện (Ox ⊥ c, Oy ⊥ c, O ∈  c) ((P), c, (Q)).
– Mặt phân giác của nhị diện ((P), c, (Q)) là mp qua cạnh c và phân giác Ot của góc xOy.

Cách 2

-Tìm một điểm A cách đều 2 mặt của nhị diện ((P), c, (Q)).

– Mặt phẳng phân giác của nhị diện là mặt phẳng qua A và c.

23.  Chứng minh 2 mặt phẳng (P), (Q) vuông góc.

 Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng ⊥ với mặt phẳng kia.
Cách 2: Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng có số đo = 90 .

24. Xác định mp P chứa đường thẳng a và ⊥ mp(Q). (a không ⊥ (Q))

Phương pháp:

– Chọn 1 điểm A ∈  a.

–  Dựng AH  ⊥ (Q). Khi đó (P) = (a, AH).

Chú ý Nếu có đường thẳng d ⊥ (Q) thì (P) // d hay (d) ⊂ (P).

25. Tìm khoảng cách – Dựng đoạn ⊥  chung của 2 đương thẳng chéo nhau a, b.

Phương pháp:

Cách 1

-Tìm mp(P) ⊥ a, tìm O = a  ∩ (P).

– Tìm hình chiếu b’ của đường thẳng b trên mp(P)

  +Tìm: I = b ∩  (P).

   +Lấy điểm M thuộc  b dựng qua M đường thẳng: MK ⊥ (P), ta có IK = là hình chiếu b’ của b trên (P).
–  Trong mp(P) dựng: OH ⊥  b’ ta có: OH = d[a, b].
– Dựng: HB // a,   B  ∈  b.
–  Dựng: BA // OH, A ∈ a ta có AB là đoạn ⊥ chung của a và b.

Cách 2
-Tìm mp(P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b.
2. Khi đó: d[a, b] = d[b, (P)] = d[M, (P)] (M là điểm tùy ý trên b).

(ST)