Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án – Toán lớp 12

Các dạng bài tập Nguyên hàm tinh lọc, có đáp án

Phần Nguyên hàm Toán lớp 12 với các dạng bài tập tinh lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm tinh lọc, có đáp án. Vào Xem cụ thể để theo dõi các dạng bài Nguyên hàm hay nhất tương ứng.

Bài giảng : Cách làm bài tập nguyên hàm và chiêu thức tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh – Cô Nguyễn Phương Anh ( Giáo viên VietJack )

Bài tập trắc nghiệm

Cách tìm nguyên hàm của hàm số

A. Phương pháp giải và Ví dụ

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa : Cho hàm số f ( x ) xác lập trên K ( K là khoảng chừng, đoạn hay nửa khoảng chừng ). Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ‘ ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K.

Định lí :

1 ) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K.

2 ) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C, với C là một hằng số.

Do đó F ( x ) + C, C ∈ R là họ tổng thể các nguyên hàm của f ( x ) trên K. Ký hiệu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C.

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1 : ( ∫ f ( x ) dx ) ‘ = f ( x ) và ∫ f ‘ ( x ) dx = f ( x ) + C

Tính chất 2 : ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0.

Tính chất 3 : ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

3. Sự sống sót của nguyên hàm

Định lí : Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số ít hàm số sơ cấp

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp dùng định nghĩa vá đặc thù

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x.

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh họa

Bài 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn :

Bài 2 : Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn :

Tìm nguyên hàm bằng chiêu thức đổi biến số

A. Phương pháp giải và Ví dụ

Ví dụ minh họa

Bài 1 : Tìm các họ nguyên hàm sau đây :

Hướng dẫn :

Bài 2 : Tìm các họ nguyên hàm sau đây :

Hướng dẫn :

Bài 3 : Tìm các họ nguyên hàm sau đây :

Hướng dẫn :

Cách tìm nguyên hàm bằng giải pháp từng phần

A. Phương pháp giải và Ví dụ

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích ( hoặc thương ) của hai hàm số “ khác lớp hàm ” ta thường sử dụng giải pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số ít trường hợp thường gặp như vậy ( với P ( x ) là một đa thức theo ẩn x )

Ví dụ minh họa

Bài 1 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a ) ∫ xsinxdx

b ) ∫ ex sinx dx

Hướng dẫn :

a ) Xét ∫ xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F ( x ) = ∫ xsinxdx = – xcosx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C

b ) Xét F ( x ) = ∫ ex sinx dx

F ( x ) = ex sinx – ∫ ex cosx dx = ex sinx-G ( x ) ( 1 )

Với G ( x ) = ∫ ex cosx dx

G ( x ) = ex cosx + ∫ ex sinx dx + C ‘ = ex cosx + F ( x ) + C ‘ ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có F ( x ) = ex sinx-ex cosx – F ( x ) – C ‘

Ghi nhớ : Gặp ∫ emx + n.sin ( ax + b ) dx hoặc ∫ emx + n.cos ( ax + b ) dx ta luôn triển khai chiêu thức nguyên hàm từng phần 2 lần liên tục.

Bài 2 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a ) ∫ x. 2 x dx

b ) ∫ ( x2-1 ) ex dx

Hướng dẫn :

a ) Xét ∫ x. 2 x dx

b )

Suy ra ∫ f ( x ) dx = ( x2-1 ) ex – ∫ 2x.ex dx

Suy ra ∫ f ( x ) dx = ( x2-1 ) ex – ∫ 2x.ex dx = ( x2-1 ) ex – ( 2x.ex – ∫ 2.ex dx )

= ( x2-1 ) ex – 2x.ex + 2.ex + C = ( x-1 ) 2 ex + C.

Bài 3 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a ) ∫ 2 xln ( x-1 ) dx

b)

Hướng dẫn :

a ) Xét ∫ 2 xln ( x-1 ) dx

b )

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm không tính tiền ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp