Đường tiệm cận của hàm số: Lý thuyết & bài tập (Kèm tài liệu)

Đường tiệm cận là một kiến thức quan trọng trong hình học giải tích thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản về lý thuyết đường tiệm cận và các bài tập từ nhận biết thông hiểu đến vận dụng cao trong các đề thi.

Lý thuyết đường tiệm cận

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu

hoặc hoặc

Lý thuyết đường tiệm cận

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu tối thiểu một trong các điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :

Các dạng bài tập về đường tiệm cận của hàm số

Để làm các bài tập về đường tiệm cận thì việc hiểu thực chất và các công thức đường tiệm cận là điều bắt buộc .

Đường tiệm cận

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

– Tiệm cận ngangĐường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu hoặc hoặc– Tiệm cận đứngĐường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu một trong các điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :

Bài tập

Bài tập 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A. 2 ( đvdt )B. 3 ( đvdt )C. 1 ( đvdt )D. 4 ( đvdt )Hướng dẫn giảiChọn ATập xác lập D = ℝ { 1 }Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích cỡ là 1 và 2 nên có diện tích quy hoạnh S = 1 ․ 2 = 2 ( đvdt )

Bài tập 2: Biết các đường tiệm cận của đường cong (C): và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ( H ) là một hình chữ nhật có diện tích quy hoạnh bằng 8B. ( H ) là một hình vuông vắn có diện tích quy hoạnh bằng 4C. ( H ) là một hình vuông vắn có diện tích quy hoạnh bằng 25D. ( H ) là một hình chữ nhật có diện tích quy hoạnh bằng 10Hướng dẫn giảiChọn D

Tập xác định

Ta có

⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của (C)⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của ( C )

⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của (C)⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của ( C )

⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của (C)⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của ( C )Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5 ; y = 7 ; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có kích cỡ 2 × 5 nên có diện tích quy hoạnh bằng 10 .

Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức

Phương pháp giải

Cho hàm số:

Để sống sót các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0Khi đó phương trình các đường tiệm cận là

+ Tiệm cận đứng

+ Tiệm cận ngang

Bài tập

Bài tập 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3 là

A. m = 1B. m = 0C. m = 2D. m = 3Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là– m ( 2 m – 1 ) – 1 ≠ 0 ⇔ 2 mét vuông – m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝPhương trình đường tiệm cận ngang là y = 2 m – 1 nên có 2 m – 1 = 3 ⇔ m = 2

Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

A. ℝB. ℝ { 0 }C. ℝ { 1 }D. ℝ { 0 ; 1 }Hướng dẫn giảiChọn D

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

A. ℝ

B.

C.

D. { 0 }Hướng dẫn giảiChọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

Bài tập 4: Cho hàm số . Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; -1) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng

A. 1B. 0C. 3D. 2Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b ≠ 0Do đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0 ; – 1 ) nên b = – 1Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )Vậy a + b = 0

Bài tập 5: Biết rằng đồ thị của hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằng

A. 3B. – 3C. 6D. 0Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là – ( a – 3 ) ( b + 3 ) – ( a + 2019 ) ≠ 0Phương trình các đường tiệm cận là

(thỏa mãn điều kiện)( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )Vậy a + b = 0

Bài tập 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) là

A. m = 4B. m = – 2C. m = – 4D. m = 2Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Đường tiệm cận đứng là

(thỏa mãn)

Bài tập 7: Cho hàm số với tham số m ≠ 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

( thỏa mãn nhu cầu )A. x + 2 y = 0B. 2 x + y = 0C. x – 2 y = 0D. y = 2 xHướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là – 2 mét vuông – 1 ≠ 0 ⇒ ∀ m ∈ ℝPhương trình các đường tiệm cận là x = 2 x ; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( 2 m ; m ) thuộc đường thẳng x = 2 y

Bài tập 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung là

A. m > 0 và

B. m > 0

C. m > 0 và

D. m 0

Vậy điều kiện cần tìm là

Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp giải

– Tiệm cận của đồ thị hàm số

với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n > 0với A là số thực khác 0 và f ( x ) là đa thức bậc n > 0– Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0luôn có tiệm cận ngang y = 0– Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi x0 là nghiệm của f(x) hay f(x0) = 0khi và chỉ khi xlà nghiệm của f ( x ) hay f ( x ) = 0

– Tiệm cận của đồ thị hàm số

với f(x), g(x) là các đa thức bậc khác 0với f ( x ), g ( x ) là các đa thức bậc khác 0– Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là bậc f(x) ≤ bậc g(x)có tiệm cận ngang là bậc f ( x ) ≤ bậc g ( x )– Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x0 là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x0 là nghiệm bội n của g(x), đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m Bài tập

Bài tập 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

là xlà nghiệm của g ( x ) nhưng không là nghiệm của f ( x ) hoặc xlà nghiệm bội n của g ( x ), đồng thời là nghiệm bội m của f ( x ) và m Tập xác định

Đặt g ( x ) = mx2 – 2 x + 1

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì

không là nghiệm của g(x)không là nghiệm của g ( x )

Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số (m, n là tham số) nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng, giá trị của m + n bằng

A. 6B. 10C. – 4D. – 7Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện : x2 – 2 mx + n + 6 ≠ 0Đặt g ( x ) = x2 – 2 mx + n + 6Do x = 1 là nghiệm của f ( x ) = x – 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình

Vậy m + n = – 4

Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n bằng

A. 8B. 9C. 6D. – 6Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện x2 + mx + n – 6 ≠ 0Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 m – n ⇒ 2 m – n = 0 ( 1 )Đặt f ( x ) = ( 2 m – n ) x2 + mx + 1 và g ( x ) = x2 + mx + n – 6Nhận thấy f ( 0 ) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì g ( 0 ) = 0 ⇔ n – 6 = 0 ⇔ n = 6. Kết hợp với ( 1 ) suy ra m = 3 .Vậy m + n = 9

Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị (C) (a, b là các số thực dương và ab = 4). Biết rằng (C) có tiệm cận ngang y = c và có đúng một tiệm cận đứng. Giá trị của tổng T = 3a + b – 24c bằng

A. 8B. 9C. 6D. 11Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện 4×2 + bx + 9 ≠ 0

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Đồ thị ( C ) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau :

Trường hợp 1: Phương trình 4×2 + bx + 9 = 0 có nghiệm kép x = x0 và không là nghiệm của ax2 + bx + 1 = 0

⇔ b2 – 144 = 0 ⇔ b = ± 12

Vì b > 0 nên b = 12

Thử lại ta có hàm số

(thỏa mãn)( thỏa mãn nhu cầu )

Vậy

Trường hợp 2 : 4×2 + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu ax2 + bx – 1 = 0. Điều này không xảy ra vì ab = 4 .Chú ý : a, b > 0 nên mẫu số ( nếu có ) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu .

Dạng 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Phương pháp

Cho hàm số vô tỷ y = f ( x )Tìm tập xác lập D của hàm số .

Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn

hoặc hữu hạn.

Bài tập

Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1. Giá trị 2a + b3 bằng

hoặchữu hạn .A. 56B. – 56C. – 72D. 72Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện ax2 + bx + 4 ≥ 0Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0Khi đó, ta có

Vậy 2 a + b3 = – 56

Chú ý: Để

thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó

Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2?

thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đóA. 0B. Vô sốC. 1D. 2Hướng dẫn giảiChọn D

Tập xác định

Ta có

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2

Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)

Phương pháp giải

Xác định tiệm cận đứng :Số tiệm cận của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình g(x) = 0là số nghiệm của phương trình g ( x ) = 0Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) để xác lập số nghiệm của phương trình g ( x ) để suy ra số đường tiệm cận đứng .Xác định tiệm cận ngang : dựa vào nhánh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác lập .

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)

Tổng số đường tiệm cận của hàm số

A. 2B. 3C. 1D. 4Hướng dẫn giảiChọn DSố đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = – 1Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.có hai đường tiệm cận đứng .

Ta có

nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang làVậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.

Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

có bốn đường tiệm cận .

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

làlàA. 2B. 4C. 3D. 1Hướng dẫn giảiChọn AĐặt t = x3 + x, ta có khi x → – ∞ thì t → – ∞ và khi x → + ∞ thì t → + ∞Mặt khác ta có t ’ = 3×2 + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên với mọi t ∈ ℝ phương trình x3 + x = t có duy nhất một nghiệm x .Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trìnhf ( t ) + 3 = 0 ⇔ f ( t ) = – 3Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.có một tiệm cận đứng .

Ta có

nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0nên đồ thị hàm sốcó một tiệm cận ngang là y = 0Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận .

Bài tập 3. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ)có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ?A. 2B. 3C. 4D. 5Hướng dẫn giảiChọn CĐặt t = 4 – x2, ta có khi x → ± ∞ thì t → – ∞

Khi đó

nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g ( x ) .

Mặt khác f (4 – x2) – 3 = 0 ⇔ f (4 – x2) = 3 ⇔

⇒ Đồ thị hàm số g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng .Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có bốn đường tiệm cận .

Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với φ(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)

Phương pháp giải

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) tìm nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 và xác lập biểu thức g ( x )

Rút gọn biểu thức

và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang .Chú ý :– Điều kiện sống sót của φ ( x )– Sử dụng đặc thù nếu đa thức g ( x ) có nghiệm là x = x0 thì g ( x ) = ( x – x0 ) ․ g1 ( x ), ở đó g1 ( x ) là một đa thức .

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.

Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với φ(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 4B. 6C. 3D. 5Hướng dẫn giảiChọn C

Điều kiện xác định

Xét phương trình

Dựa vào đồ thị ta thấy– Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt x = x1 2 .Khi đóf2 ( x ) – f ( x ) = f ( x ) [ f ( x ) – 1 ] = a2 ( x – x1 ) ( x – 2 ) 2 ( x – 1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 )

Suy ra

Trong đó x1 2 nên đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba tiệm cận đứng là x = 2 ; x = x2 ; x = x3

Bài tập 2. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đặt

. Đồ thị hàm số y = g(x) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. Đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 4B. 2C. 5D. 3Hướng dẫn giảiChọn A

Điều kiện xác định

Ta có

Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) = 0 có hai nghiệm x = x1

Vậy biểu thức f2 ( x ) – 2 f ( x ) = f ( x ) [ f ( x ) – 2 ] = a2 ( x – x1 ) ( x – 1 ) 2 x ( x – x2 ) ( x – x3 )

Khi đó ta có

Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng .

Bài tập 3. Cho f(x) là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 3B. 2C. 4D. 1Hướng dẫn giảiChọn A

Điều kiện

Ta có (x – 3)(x2 – 4x + 3) = (x – 3)2(x – 1); f’(x)․[f(x) – 2] = 0

Dựa vào bảng biến thiên, ta cóf ’ ( x ) = 0 có nghiệm là x = 1 ; x = 2 ( nghiệm kép ) ; x = 3 ( nghiệm kép )⇒ f ’ ( x ) = a ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( x – 3 ) 2 với a > 0

f(x) = 2 có hai nghiệm

nên f(x) = (x – x1)(x – x2)․p(x) với p(x) là một đa thức bậc 4 và p(x) > 0, ∀ x ∈ ℝnên f ( x ) = ( x – x ) ( x – x ) ․ p ( x ) với p ( x ) là một đa thức bậc 4 và p ( x ) > 0, ∀ x ∈ ℝ

Khi đó

Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng .Chú ý : Do f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 nên f ’ ( x ) là hàm đa thức bậc 5 .

Bài tập 4. Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3f(1) – 2 0, ∀ a > 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

làlàA. 0B. 2C. 1D. 3Hướng dẫn giảiChọn B .Đặt h ( x ) = 3 f ( x + 2 ) – x3 + 3 x. Điều kiện h ( x ) ≠ 0Ta có h ’ ( x ) = 3 f ’ ( x + 2 ) – 3×2 + 3h ’ ( x ) = 0 ⇔ f ’ ( x + 2 ) = x2 – 1Đặt t = x + 2, ta được f ’ ( t ) = t2 – 4 t + 3 ( * )Vẽ đồ thị hàm số y = t2 – 4 t + 3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y = f ’ ( t ) ta được hình vẽ sau

Dựa vào đồ thị ta thấy ( * ) có ba nghiệm là t = 1 ; t = 3 ; t = a > 4Suy ra phương trình h ’ ( x ) = 0 có nghiệm đơn x = x-1 ; x = 1 ; x = a – 2 = b > 2Ta có bảng biến thiên của h ( x ) như sau

Vì h ( – 1 ) = 3 f ( 1 ) – 2 0với mọi a > 4 nên phương trình h ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = x1 Dạng 7: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức , với f(x) và g(x) là các đa thức

Phương pháp giải

Điều kiện đề đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f(x) ≤ bậc g(x). Khi đó đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f ( x ) ≤ bậc g ( x ). Khi đó đồ thị hàm sốcó đúng một đường tiệm cận ngang .Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0có tiệm cận đứng x = xTrường hợp 1 : x = x0 là nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 .Trường hợp 2 : x = x0 là nghiệm bội n của phương trình g ( x ) = 0, đồng thời là nghiệm bội m của phương trình f ( x ) = 0 thì n > m .Ta có f ( x ) = ( x – x0 ) m ․ f1 ( x ) với f1 ( x ) không có nghiệm x = x0 và g ( x ) = ( x – x0 ) n ․ g1 ( x ) với g1 ( x ) không có nghiệm x = x0. Khi đó

Nên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho .

Bài tập

Bài tập 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số có ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng

A. 6B. 19C. 3D. 15Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện x2 + 2 x + mét vuông – 3 m ≠ 0

Ta có

đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác – 2 của phương trình x2 + 2 x + mét vuông – 3 m = 0 nên để đồ thị hàm số có ba tiệm cận thì phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.có ba tiệm cận thì phương trình x + 2 x + m – 3 m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác – 2 .

Do m nguyên dương nên m ∈ { 1 ; 2 } .Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3 .

Bài tập 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận là

A. – 5B. 4C. – 1D. 5Hướng dẫn giảiChọn AĐiều kiện x ≠ 1 ; x ≠ 2

nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi mnên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi m

Ta có x2 – 3x + 2 ⇔

Xét f(x) = x2 + m. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f(x) phải nhận x = 1 hoặc x = 2 là nghiệm hay

Với m = -1, ta có hàm số

nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2; y = 1 (thỏa mãn).nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2 ; y = 1 ( thỏa mãn nhu cầu ) .

Với m = -4, ta có hàm số

nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1; y = 1 (thỏa mãn).nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1 ; y = 1 ( thỏa mãn nhu cầu ) .Vậy S = { – 1 ; – 4 } nên tổng các giá trị m bằng – 5 .

Bài tập 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

A. – 12B. 12C. 15D. – 15Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện x2 – mx – m + 5 ≠ 0Đặt f ( x ) = x2 – 3 x + 2, g ( x ) = x2 – mx – m + 5Ta có f ( x ) = 0 ⇔ là nghiệm đơn của tử thức.là nghiệm đơn của tử thức .Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau

– Trường hợp 1. Phương trình g(x) = 0 vô nghiệm ∆ = m2 +4m – 20

Do m ∈ ℤ nên m ∈ { – 6 ; – 5 ; … ; 2 }

– Trường hợp 2. f(x) = 0 nhận đồng thời x = 1 và x = 2 làm nghiệm

Thử lại, ta có

, khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại., khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại .Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m ∈ { – 6 ; – 5 ; … ; 2 ; 3 } nên tổng bằng – 15 .

Bài tập 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận là

A. { – 1 ; 0 }B. { 0 }C. ( – ∞ ; – 1 ) ∪ { 0 }D. ( – ∞ ; – 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )Hướng dẫn giảiChọn B

Điều kiện

Với m = 0, hàm số có dạng

Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y = 0Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm .Với m ≠ 0

Ta có

nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì+ Trường hợp 1. Hai phương trình f ( x ) = mx2 – 2 x + 1 = 0 và g ( x ) = 4×2 + 4 mx + 1 = 0 cùng vô nghiệm

⇒ vô nghiệm⇒ vô nghiệm

+ Trường hợp 2. Phương trình (mx2 – 2x + 1)(4×2 + 4mx + 1) = 0 có nghiệm duy nhất là

. Khi đó là nghiệm của một trong hai phương trình f(x) = 0 hoặc g(x) = 0. Khi đólà nghiệm của một trong hai phương trình f ( x ) = 0 hoặc g ( x ) = 0

Do m ≠ 0 nên m = – 1 .Thử lại, với m = – 1 thì hàm số là

Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là

không thỏa mãn.không thỏa mãn nhu cầu .Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m ∈ { 0 }

Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau– Bước 1. Tìm tập xác lập của hàm số .– Bước 2. Xác định các đường tiệm cận .Tiệm cận ngang+ Điều kiện cần : Để đồ thị hàm số chứa căn thức có tiệm cận ngang thì trong tập xác lập phải có các khoảng chừng ( – ∞ ; a ) hoặc ( b ; + ∞ ) .

+ Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn

hoặc thì đường thẳng y = a hoặc y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.hoặcthì đường thẳng y = a hoặc y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .

Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong các giới hạn

hoặc thì x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập

Bài tập 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận là

hoặcthì x = xlà tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho .

A.

B. m > 0

C.

D. ∀ m ∈ ℝHướng dẫn giảiChọn A

Điều kiện

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0

Khi đó tập xác định của hàm số là

Nếu m ≤ 0 thì mx2 – 4 Ta có

nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là

Để tồn tại tiệm cận đứng x = 3 thì

Kết hợp lại ta có

Bài tập 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận là

A. m ∈ ℝ

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn D

Điều kiện

Tập xác lập D = ( – ∞ ; – 3 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) { 1 ; – m – 2 }

Ta có

, ∀ m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số., ∀ m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng .

Với m = – 3 thì D  = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) {1}

Khi đó, ta có hàm số

Do đó

nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = -3 thỏa mãn.nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = – 3 thỏa mãn nhu cầu .Với m ≠ – 3, ta có

⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Để đường x = -m – 2 là tiệm cận đứng thì

Khi đó

(tùy theo m) nên x = -m – 2 là tiệm cận đứng ( tùy theo m ) nên x = – m – 2 là tiệm cận đứngKết hợp cả hai trường hợp, ta có

Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

A. m > 1B. 0 Trường hợp 2. Với m

nên không tồn tại ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang.nên không tồn tạivà ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang .Do đó m 0 thì hàm số có tập xác lập là D = ℝ

Xét

Xét

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 – m = 0 ⇔ m = 1

Bài tập 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số có bốn đường tiệm cận phân biệt là

A. ( 0 ; + ∞ )

B.

C.

D. {1} { 1 }Hướng dẫn giảiChọn D .Điều kiện mx2 – 3 mx + 2 > 0 ( * )

– Trường hợp 1. Với m = 0, ta có

nên đồ thị không có đường tiệm cận.nên đồ thị không có đường tiệm cận .Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm .– Trường hợp 2. Với m 0, ∀ m 0 ⇔ x ∈ [ x1 ; x2 ] ( với x1, x2 là là hai nghiệm của phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0 ) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ có tối đa hai tiệm cận đứng .Nếu ∆ ≤ 0 thì hàm số có tập xác lập là D = ∅Do đó m 0 .Xét phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0

Nếu ∆ = 9m2 – 8m

. Hàm số xác định trên ℝ.. Hàm số xác lập trên ℝ .

Khi đó mx2 – 3mx + 2 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận ngang là

Nếu ∆ = 9m2 – 8m = 0 ⇔

.

Khi đó, hàm số trở thành

nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang .

Nếu ∆ = 9m2 – 8m > 0 ⇔

.Hàm số xác lập trên các khoảng chừng ( – ∞ ; x1 ) và ( x2 ; + ∞ ) .Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là.Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng .Vì x = 1 là nghiệm của tử f ( x ) = x – 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng thì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0 ⇔ m – 3 m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Vậy giá trị của m cần tìm là

.

Nếu x = 1 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 do phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g(x) = 0 có một nghiệm nữa x = a ≠ 1 thì g(x) = m(x – 1)(x – a). Khi đó hàm số có dạng nên chỉ có một tiệm cận

Bài tập 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng?

A. 1B. 2C. 4D. 3Hướng dẫn giảiChọn B

Điều kiện

Đặt f ( x ) = x2 – ( 1 – m ) x + 2 mĐể đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≥ – 1– Trường hợp 1. f ( x ) có nghiệm x = – 1 ⇔ f ( – 1 ) = 0 ⇔ m = – 2

Khi đó hàm số có dạng

có tập xác định là D = (4; +∞) nên chỉ có một tiệm cận đứng.có tập xác lập là D = ( 4 ; + ∞ ) nên chỉ có một tiệm cận đứng .

– Trường hợp 2. f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 > -1 ⇔

Do m ∈ ℤ nên m = – 1 ; m = 0

Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau

Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Đồ thị hàm số

có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 1B. 2C. 3D. 4Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện f ( x ) ≠ mĐể đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = m phải có nghiệm.có đường tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = m phải có nghiệm .

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là

với -1

Suy ra phương trình y = f ( x ) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt .Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

Bài tập 2. Cho hàm số với h(x) = mx4 + nx3 + px2 + qx (m, n, p, q ∈ ℝ, m ≠ 0), h (0) = 0. Hàm số y = h’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận đứng ?A. 2B. 11C. 71D. 2019Hướng dẫn giảiChọn B .Từ đồ thị suy ra h ’ ( x ) = m ( x + 1 ) ( 4 x – 5 ) ( x – 3 ) = m ( 4×3 – 13×2 – 2 x + 15 ) và m Nên

do h (0) = 0do h ( 0 ) = 0Đồ thị g ( x ) có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h ( x ) = mét vuông + m có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt.có hai nghiệm phân biệt .

Đặt

Ta có bảng biến thiên của f ( x ) như sau

Vì m

Vậy có 11 số nguyên m .

Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f (-1)

Đồ thị hàm số

(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi( m là tham số thực ) có bốn tiệm cận khi và chỉ khiA. m f ( – 1 )D. f ( 3 ) ≤ m ≤ f ( – 1 )Hướng dẫn giảiChọn B .Điều kiện f ( x ) ≠ mTừ đồ thị hàm số f ’ ( x ), ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) là

Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận .

Nếu m ≠ 20 thì

⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .Ta có phương trình f ( x ) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f ( – 1 ) Bài tập 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.

A. 2B. 0C. 1D. 3Hướng dẫn giảiChọn C

Điều kiện

Do

nên khi x → +∞ thì 2f(x) – f2(x) → -∞ vì vậy không có nghĩa khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại .nên khi x → + ∞ thì 2 f ( x ) – f ( x ) → – ∞ vì vậykhông có nghĩa khi x đủ lớn. Do đó không sống sót

Xét

.

nên ; nên

Từ đó

với m ≠ 1với m ≠ 1

Khi đó đồ thị hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = -1 thì

Vì m ∈ ℤ nên m = 0 .

Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận khi và chỉ khi ad – bc ≠ 0, c ≠ 0có đường tiệm cận khi và chỉ khi ad – bc ≠ 0, c ≠ 0

Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là

Phương trình đường tiệm cận ngang là

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm

và cũng là tâm đối xứng của đồ thị.và cũng là tâm đối xứng của đồ thị .

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các kích thước là

nên có chu vi là và diện tích là .

Bài tập

Bài tập 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đi qua điểm

nên có chu vi làvà diện tích quy hoạnh làA. m = – 2B. m = 2

C.

D. m = – 1Hướng dẫn giảiChọn B

Ta có ad – bc = m2 + 2 ≠ 0, ∀ m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x =

Để tiệm cận đứng đi qua điểm thì = -1 ⇔ m = 2

Bài tập 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

thì = – 1 ⇔ m = 2A. 3 ( đvdt )B. 6 ( đvdt )C. 1 ( đvdt )D. 2 ( đvdt )Hướng dẫn giảiChọn DPhương trình các đường tiệm cận là x = 1 ; y = 2Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích quy hoạnh bằng 1 ․ 2 = 2 ( đvdt ) .

Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là

A. m ≠ ± 2B. m = 2

C.

D. m = ± 4Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là – 2 m – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 mTheo công thức tính diện tích quy hoạnh hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S = | 2 m |Theo giả thiết thì | 2 m | = 8 ⇔ m = ± 4

Bài tập 4. Cho đồ thị hai hàm số với . Tất cả các giá trị thực dương của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 là

A. a = 6B. a = 4C. a = 3D. a = 1Hướng dẫn giảiChọn AĐồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = -1 và y = 2có hai đường tiệm cận là x = – 1 và y = 2Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 2a – 1 ≠ 0 ⇔ có tiệm cận là 2 a – 1 ≠ 0 ⇔Với điều kiện kèm theo đó thì đồ thị hàm số g ( x ) có hai đường tiệm cận là x = – 2 và y = aHình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích cỡ là 1 và | a – 2 | .

Theo giả thiết, ta có |a – 2|․1 = 4 ⇔

Vì a > 0 nên a = 6 .

Bài tập 5. Cho hàm số có đồ thị (C). Hai đường tiệm cận của (C) cắt nhau tại I. Đường thẳng d: y = 2x + b (b là tham số thực) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Biết b . Giá trị của b bằng

A. – 1B. – 3C. – 2D. – 4Hướng dẫn giảiChọn DTa có tọa độ điểm I ( 1 ; 1 )Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d là

Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ( * ) .Khi đó A ( x1 ; 2×1 + b ), B ( x2 ; 2×2 + b )

Ta có

Diện tích tam giác IAB là

Theo giả thiết thì

Do b Với tam giác ABC có

thì thì

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì

Bài tập 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 và (x + 1)2 + y2 = 1. Biết đồ thị hàm số đi qua tâm của (C1), đi qua tâm của (C2) và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả (C1) và (C2). Tổng a +b + c là

A. 5B. 8C. 2D. – 1Hướng dẫn giảiChọn CĐường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( 1 ; 2 ) ; R1 = 1 và ( C2 ) có tâm I2 ( – 1 ; 0 ) ; R2 = 1Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac – b ≠ 0

Gọi (C) là đồ thị hàm số

Khi đó ta có các đường tiệm cận ( C ) là x = – c và y = aTa có I1, I2 ∈ ( C )

Đường thẳng x = -c tiếp xúc với cả (C1) và (C2) nên

⇒ a = b = 1Khi đó tiệm cận ngang của ( C ) là y = 1 tiếp xúc cới cả ( C1 ) và ( C2 ) thỏa mãn nhu cầu bài toán .Vậy a = b = 1 ; c = 0 ⇒ a + b + c = 2

Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số có các đường tiệm cận là có các đường tiệm cận là

Gọi

là điểm bất kì trên đồ thịlà điểm bất kể trên đồ thị

Khi đó

Vậy ta luôn có

là một số không đổilà 1 số ít không đổi

Khi đó

nên khi d1 = d2nênkhi d = d

Ví dụ: Xét hàm số

có hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận là

Bài tập

Bài tập 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng

có hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M bất kể trên đồ thị đến hai đường tiệm cận làA. 4B. 2C. 8D. 6Hướng dẫn giảiChọn BGọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .

Áp dụng công thức, ta có

Bài tập 2. Cho hàm số (C). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng

A. 10B. 6C. 2D. 5Hướng dẫn giảiChọn CGọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .

Áp dụng công thức, ta có

Khi đó

Vậy dmin = 2

Bài tập 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Điểm M có hoành độ dương, nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằng

A. 5

B.

C.

D. 4Hướng dẫn giảiChọn C

Giả sử

(x0 > 0; x0 ≠ 3)( x > 0 ; x ≠ 3 )Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng ∆ 1 : x = 3, tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 3 và tâm đối xứng I ( 3 ; 3 )

Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 – 3| và d2 = d(M; ∆2) =

Theo giả thiết

Vậy M ( 7 ; 5 ) ⇒ IM =

Bài tập 4. Cho hàm số có đồ thị (H). Gọi M(x0; y0) với x0

A. 4B. 0C. 9D. 1Hướng dẫn giảiChọn CĐồ thị ( H ) có tiệm cận ∆ 1 : x = – 1, tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 4

Gọi

, x0 ≠ -1, x0 Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 + 1| và d2 = d(M; ∆2) =

⇒ d1․d2 = 9⇒ d ․ d = 9

Ta có

nên min(d1 + d2) = 6 khinên min ( d + d ) = 6 khi

Do x0 Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số có đồ thị (C) có các đường tiệm cận là có đồ thị ( C ) có các đường tiệm cận làvà

Gọi

là điểm bất kỳ trên đồ thịlà điểm bất kể trên đồ thịKhi đó tiếp tuyến của ( C ) tại M là

Gọi A = d ∩ ∆ 1

B = d ∩ ∆ 2

Do đó

là một số không đổilà 1 số ít không đổi

Do △IAB vuông tại I nên

là một số không đổilà một số ít không đổi

Ngoài ra, ta có

nên M luôn là trung điểm của AB.nên M luôn là trung điểm của AB .Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sauCâu 1 : Tính diện tích quy hoạnh tam giác IAB .Câu 2 : Tìm điểm M ∈ ( C ) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cóCạnh huyền nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IBChu vi nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IBBán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IBBán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng

Dấu bằng xảy ra khi IA = IBKhoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhấtGọi H là hình chiếu của I lên d, ta có

Dấu bằng xảy ra khi IA = IBNhận xét : Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên △ IAB vuông cân tại I. Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆ 2 thì α = ( d ; ∆ 2 ) = ( d ; Ox ) = 45 ° nên thông số góc của tiếp tuyến là k = ± tan 45 ° = ± 1 .Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k = 1 hoặc k = -1.

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc (C) cắt các đường tiệm cận của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng

khi biết thông số góc k = 1 hoặc k = – 1 .A. 4

B.

C.

D. 2Hướng dẫn giảiChọn D

Áp dụng công thức, ta có

Bài tập 2. Cho hàm số (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số (C). Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C) đạt giá trị lớn nhất bằng

A.

B. 1

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn A

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M ∈ ( C ) bất kể với hai đường tiệm cận .

Khi đó ta có

Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có

Vậy IHmax =

Bài tập 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận (C). Biết tiếp tuyến ∆ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi ∆ và hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. ( 28 ; 29 )B. ( 29 ; 30 )C. ( 27 ; 28 )D. ( 26 ; 27 )Hướng dẫn giảiChọn C

Ta có

Theo triết lý thì để diện tích quy hoạnh đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó thông số góc của tiếp tuyến ∆ phải là k = ± 1 .Do y ’ Xét phương trình

Với

⇒ Tiếp tuyến ∆1: ⇒ Tiếp tuyến ∆

Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm

Với

⇒ Tiếp tuyến ∆1: ⇒ Tiếp tuyến ∆

Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm

Bài tập 4. Cho hàm số , gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m – 2. Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A(x1; y1) và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm B(x2; y2). Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2 + y1 = -5. Tổng bình phương các phần tử của S bằng

vàA. 4B. 9C. 0D. 10Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện m – 2 ≠ 2 ⇔ m ≠ 0Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ∆ : x = – 2 và tiệm cận ngang ∆ ’ : y = 1

Ta có

Phương trình đường thẳng d là

Do đó x2 + y1 = -5

Vậy S = ( – 3 ) 2 + 12 = 10

Tài liệu hay về đường tiệm cận

Bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số Open nhiều trong các đề thi toán lớp 12 và kỳ thi THPTQG. Để giúp các bạn học viên có thêm nguồn tài liệu tìm hiểu thêm chất lượng, chúng tôi đã tổng hợp lại một số ít tài liệu hay về chuyên đề này. Mỗi tài liệu đều có đáp án và phân dạng rõ ràng .

#1. Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Thông tin tài liệu
Tác giảThầy Nguyễn Bảo Vương
Số trang42
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1. Xác định đường tiệm cận trải qua bảng biến thiên– Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước– Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo cho trước– Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g [ f ( x ) ] khi biết bảng biến thiên hàm số f ( x )

Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG 1

Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG 2Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG 3Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG 4

#2. Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giảThầy Nguyễn Vương
Số trang38
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết tiệm cận đứng tiệm cận ngang– Dạng 1 : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số trải qua bảng biến thiên và đồ thị .– Dạng 2 : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số trải qua hàm số– Dạng 3 : Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo cho trước– Phần giải thuật cho 3 dạng bài tập .

Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số 3Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số 5

#3. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giảCLB Giáo Viên Trẻ TP Huế
Số trang57
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số– Dạng 1 : Câu hỏi kim chỉ nan về đường tiệm cận của hàm số– Dạng 2 : Xác định đường tiệm cận của hàm số– Dạng 3 : Bài toán tham số tương quan đến tiệm cận– Dạng 4 : Tiệm cận của đồ thị hàm ẩn– Dạng 5 : Các bài toán khác về đường tiệm cận của hàm số

Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 3Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 5

#4. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giảThầy Phạm Hoàng Điệp
Số trang17
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .– Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .– Một số dạng toán thường gặp tương quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số .– Bài tập tự luận .

Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 3Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số 5

#5. Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang35
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa– Dạng 2 : Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức– Dạng 3 : Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ– Dạng 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ– Dạng 5 : Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ), xác lập tiệm cận của đồ thị hàm số y = A / g ( x ) với A là số thực khác 0, g ( x ) xác lập theo f ( x ) .– Dạng 6 : Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ), xác lập tiệm cận của đồ thị hàm số y = h ( x ) / g ( x ) với h ( x ) là một biểu thức theo x, g ( x ) là biểu thức theo f ( x )– Dạng 7 : Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức y = f ( x ) / g ( x ) với f ( x ) và g ( x ) là các đa thức .– Dạng 8 : Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức– Dạng 9 : Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn– Dạng 10 : Bài toán tương quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = ( ax + b ) / ( cx + d )– Dạng 11 : Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số y = ( ax + b ) / ( cx + d ) đến các đường tiệm cận– Dạng 12 : Bài toán tương quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số y = ( ax + b ) / ( cx + d )

Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số 3Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số 5

#6. Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang95
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :Dạng 1 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 2 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 3 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ), trong bài toán không chứa tham số .Dạng 4 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ), trong bài toán chứa tham số .Dạng 5 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 6 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 7 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 8 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 9 : Biết số lượng giới hạn của hàm số y = f ( x ) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 10 : Biết số lượng giới hạn của hàm số y = f ( x ) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 11 : Biết biểu thức hoặc đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ’ ( x ) tìm tiệm cận của hàm số y = g ( x ) .

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số 1

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số 2Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số 3Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số 4Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số 5

#7. Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giảThầy Đặng Việt Đông
Số trang29
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Kiến thức chung– Dạng 1 : Bài toán không chứa tham số– Dạng 2 : Các bài toán chứa tham số

Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số 1

Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số 2Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số 3Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số 4Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số 5

BÀI HỌC TIẾP THEO

– Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số– Công thức logarit– Công thức nguyên hàm– Tích phân– Số phứcLê Võ Dũng

Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc nhìn nào đó, tất cả chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong đời sống và cần phải hiểu rõ về thực chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm xúc rất như mong muốn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy hoàn toàn có thể tiếp cận nhiều học viên hơn .

Như vậy cachlam.org đã chia sẻ với bạn bài viết Đường tiệm cận của hàm số: Lý thuyết & bài tập (Kèm tài liệu). Hy vọng bạn đã có được 1 cách làm hay và chúc bạn có được nhiều thành công trong cuộc sống hơn nữa!

Xem thêm các hướng dẫn và mẹo vặt hay: https://cachlam.org/huong-dan

Cách làm thú vị khác
Toán lớp 5 trang 43 Luyện tập – https://cachlam.org

Toán lớp 5 trang 43 Luyện tập chung Đọc các số thập phân sau đây. Viết số thập phân có Read more

2 cách làm tinh dầu bưởi tại nhà, cách bảo quản tinh dầu bưởi đúng cách

Với các thành phần dưỡng chất lớn gồm có Pectin, Naringin, vitamin A, C …, vỏ bưởi có tính năng Read more

Toán lớp 5 trang 175 Luyện tập chung – https://cachlam.org

Toán lớp 5 trang 176 Luyện tập chung Tính. Trong ba ngày một shop bán được 2400 kg đường. Ngày Read more

Hướng dẫn cách làm tinh dầu cam nguyên chất tại nhà

Tinh dầu cam nguyên chất đem đến những tính năng và quyền lợi hiệu suất cao, cách làm chúng thế Read more

Mách chị em cách làm tỏi đen – thần dược chữa bệnh tại nhà bằng nồi cơm điện cực đơn giản – ALONGWALKER

Thông thường nếu tất cả chúng ta mua tỏi đen đã được làm sẵn sẽ có giá cả khá cao. Read more

Cách làm tinh dầu chanh nguyên chất đơn giản tại nhà

Có khi nào bạn nghĩ sẽ tự làm cho mình một lọ tinh dầu chanh. Với các nguyên vật liệu Read more

Cách làm thạch trà sữa củ năng dai giòn tại nhà

Trà sữa là một hình thức kinh doanh thương mại chưa khi nào là hết thời, người người, nhà nhà Read more

Hoa hồi làm mồi câu cá cực nhạy – bách phát bách trúng

Hoa hồi làm mồi câu cá cực nhạy – bách phát bách trúng Tháng Hai 24, 2021 Hoa hồi làm Read more

Powered by onlinetruyen.com

DMCA.com Protection Status